代表的な関数の2接線の交点の座標 - ブルーマンのQiita記事(おすすめの理工学書)保管庫

Qiitaの7/28の記事では、任意の関数の2接線の交点の座標について触れました!!

今回は、代表的な関数の2接線の交点の座標について紹介します!!

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接線の交点の座標
おわりに

接線の交点の座標

Qiitaの記事を読んでくださると分かるのですが、接線の交点の座標はそれぞれ

接線の交点の座標

$x=\quad\dfrac{f(b)-f(a)-f'(b)b+f'(a)a}{f'(a)-f'(b)}$

$y=\quad\dfrac{(b-a)f'(a)f'(b)-f'(a)f(b)+f(a)f'(b)}{f'(b)-f'(a)}$

となります!!

今回は、この式を用いて2次関数(頂点が原点のとき)、2次関数(一般形)、n次関数、円(中心が原点)、楕円(中心が原点)についての接線の交点の座標を紹介したいと思います!!

2次関数(頂点が原点のとき)

接線の交点の座標の式にそれぞれ代入して整理すると、

2次関数(頂点が原点のとき)の交点の座標

$x=\quad\dfrac{a+b}{2}$

$y=\quad ab$

となります!!

2次関数(一般形)

接線の交点の座標の式にそれぞれ代入して整理すると、

2次関数(一般形)の交点の座標

$x=\quad\dfrac{a+b}{2}$

$y=\quad pab+\dfrac{q(a+b)}{2}+r$

※2次関数(一般形)の式を $y=px^2+qx+r$ とした

2次関数の接線の交点の座標について分かること

以上のことから、2次関数の接線の交点の $x$ 座標は、

$x$ 座標について分かること

任意の2つの $x$ 座標の中央に位置する

ことが分かるのではないでしょうか?

また、 $y$ 座標については、

$y$ 座標について分かること

頂点が原点のときには、任意の $x$ 座標の積
一般形については最高次の項では任意の $x$ 座標の積、1次の項では接線の交点の $x$ 座標と2次関数(一般形)の1次の項の係数の積

で表せることも式から分かるのではないでしょうか?

n次関数

接線の交点の座標の式にそれぞれ代入して整理すると、

n次関数の交点の座標

$x=\quad\left(1-\dfrac{1}{n} \right) \dfrac{a^n-b^n}{a^{n-1}-b^{n-1}}$

$y=\quad \left(1-n \right) \dfrac{a^{n-1}b^n-a^nb^{n-1}}{a^{n-1}-b^{n-1}}$

n次関数の接線の交点の座標について分かること

以上のことから、n次関数の接線の交点の $x$ 座標は、

$x$ 座標について分かること

分子の次数の方が分母の次数より大きい
分母のそれぞれの項の次数を1増やしたものが分子のそれぞれの項になっている

ことが分かるのではないでしょうか?

また、 $y$ 座標については、

$y$ 座標について分かること

分母のそれぞれの項に片方の座標の値のn乗をかけたものが分子のそれぞれの項になっている

ことも式から分かるのではないでしょうか?

また、 $x,y$ 座標については、

$x,y$ 座標について分かること

$a,b$ の係数のnがある項ではそれぞれが逆数になっている

ことも式から分かるのではないでしょうか?

円(中心が原点)

円(中心が原点)の方程式は次の式で与えられます。

円(中心が原点)の方程式

$x^2+y^2=r^2$

※ $r$ は半径

上の式を $y$ について変形すると、次のようになります。

円(中心が原点)の方程式(変形後)

$y= \sqrt{r^2-x^2}$

この式を用いて接線の交点の座標を求めると、

円(中心が原点)の交点の座標

$x=\quad\dfrac{r^2-\sqrt{\left(r^2-a^2\right)\left(r^2-b^2\right)}+ab}{a+b}$

$y=\quad -\dfrac{a\sqrt{r^2-b^2}+b\sqrt{r^2-a^2}}{a+b}$

円(中心が原点)の接線の交点の座標について分かること

以上のことから、円(中心が原点)の接線の交点の $x$ 座標は、

$x$ 座標について分かること

円(中心が原点)の方程式(変形後)の $x=a,b$ を代入したもののそれぞれの積が含まれている

ことが分かるのではないでしょうか？

また、 $y$ 座標については、

$y$ 座標について分かること

円(中心が原点)の方程式(変形後)の $x=b$ を代入したものと $a$ の積と円(中心が原点)の方程式(変形後)の $x=a$ を代入したものと $b$ の積が含まれている

ことも式から分かるのではないでしょうか?

補足

ここで、 $a=0,b=r$ とすると接線の交点の $x$ 座標は $r$ 、接線の交点の $y$ 座標は $\pm r$ となります。接線の交点の $x$ 座標は1つしか出ていないのに対し接線の交点の $y$ 座標が2つ出ているのは $x=0$ での接線が2つ出るためです。(興味がある人は、グラフを描いて確かめてみてください)

楕円(中心が原点)

楕円(中心が原点)の方程式は次の式で与えられます。

楕円(中心が原点)の方程式

$\dfrac{x^2}{p^2}+\dfrac{y^2}{q^2}=1$

この式を $y$ について変形すると、次のようになります。

楕円(中心が原点)の方程式(変形後)

$y=\dfrac{q}{p}\sqrt{p^2-x^2}$

この式を用いて接線の交点の座標を求めると、

楕円(中心が原点)の交点の座標

$x=\quad\dfrac{p^2-\sqrt{\left(p^2-a^2\right)\left(p^2-b^2\right)}+ab}{a+b}$

$y=\quad \dfrac{q}{p}\times\dfrac{a\sqrt{p^2-b^2}+b\sqrt{p^2-a^2}}{a+b}$

楕円(中心が原点)の接線の交点の座標について分かること

以上のことから、楕円(中心が原点)の接線の交点の $x$ 座標は、

$x$ 座標について分かること

円(中心が原点)の接線の交点の $x$ 座標の $r=p$ である

ことが分かるのではないでしょうか?

また、 $y$ 座標については、

$y$ 座標について分かること

$\dfrac{a\sqrt{p^2-b^2}+b\sqrt{p^2-a^2}}{a+b}=-\left(-\dfrac{a\sqrt{p^2-b^2}+b\sqrt{p^2-a^2}}{a+b}\right)$ より、 $y=\quad -\dfrac{q}{p}\times\left(-\dfrac{a\sqrt{p^2-b^2}+b\sqrt{p^2-a^2}}{a+b}\right)$ となるので、円(中心が原点)の $y$ 座標の $r=p$ としたものと $-\dfrac{q}{p}$ の積で表せる